円周率「約3」について
文部省が円周率「約3」を打ち出し、賛否両論かびすましい。
いや、否定的意見が多いようですな。
私？、私は「3.14」と「約3」は一長一短。
と、風見鶏的日和見的洞ヶ峠をきめこんでいる。
否定的意見が多いので、「約3」を少し弁護してみよう。
「約3」が、良いのは「結構使える」。と言う事、これに尽きる。
円周率なんて普通使わない。
何かムズカシイ物だと思われている。
私の職業で言うと、
例えば粘土でカップを作ろうとする時、色々な作り方があるが、
タタラ作り(粘土の板を組み合わせて何かを作る事)の場合、
陶芸教室で、
「直径10cmのカップを作るには、30cm位のタタラを作って下さい。」
と私が言うと、大抵「エッ？そんなに長いの？」と驚かれる。
「だって直径かける3.14だから、そんなもんでしょ。
10×約3＝約30、じゃないですか、、、」
と説明すると「なるほど確かにそうですねぇ。」と、感心するのは
「3.14」で育ってきた、おばさん達である。
「円周率なんてそんなムズカシイ事忘れちゃったわ、、、」と、おっしゃる。
「いや、だからそんなムズカシイ物ではないので普段から使って下さい」
と、私が言えば
「さすが数学の先生ね。」なんて褒められたりしてチト恥ずかしい。
(食えないので、中高生に数学を教えたりしています、、、私)
円周率なんて「約3」なんだから、使って下さいよ、「3.14」世代の方も！
林業で、胸高直径(きょうこうちょっけい)という、おおざっぱな言い方がある。
胸の高さで木の回りに紐を巻き、その長さを「3」で割って、胸高直径とする。
専門家は、胸高直径を聞けば、木の年齢等、林の様子が大体わかるらしい。
、、、でも、胸の高さなんて人によって全然違うし、、、
、、、って、だから、こういう所こそ「約3」が大活躍！！
否定的意見としては、
「3倍は内接正6角形の周囲であって、円はそれより大きいのだからダメ」
「パイが無理数だという事を理解させるべきダ」
と言うのが多いようですな。
たーしかに、その通り。全く、その通り。
でも、そんな事、あとから習っても、、、いいんじゃないかなぁ、、、
＊＊＊＊＊＊＊
千夏君のエンジン機
中学校１年の時だったかなあ、２年の時だったかなあ、ちょっと忘れたけど
千夏君という子が、僕の通っていた中学校に転校して来た。
千夏君(ちなつくん)て、女の子みたいな名前だけど、正真正銘の男の子です。
クラスでの彼の最初のあいさつも誠に「そつ」がなく、
なんか、冴えた奴だなあと思っていた。
彼が転校して来てから何日か後の、ある休みの日の午後、
中学校の校庭で、千夏君が、なにやら飛行機の模型をいじっていた。
僕もヒマだったので、好奇心まるだしで近づいていった。
いかにも自作って感じの模型飛行機に燃料を入れている。
興味しんしんで、そばに寄ってきた僕に、
彼は、気さくに色々説明してくれた。
「エンジンオイルはヒマシ油なんだよ。」、とか
「バッテリーをつないで、プラグを熱くしてエンジンをかければ
あとはバッテリーは外してしまっても大丈夫なんだよ。」、とか、
「これはエンヤって言う、ま、模型としては一番普通のエンジンかな。」
とか、、、。
僕はすっかり夢中になってしまった。
「スゲーな。これって高いんだべ？」と聞くと、彼は
「そうでもないよ。これ、ぜんぶ自分で作ったんだからね。」なんて言うから、
僕は、千夏君に、すっかりあこがれてしまった。
エンジン機って言っても、
当時は「ラジコン」なんて自家用飛行機と同じくらいの高嶺の花。
素人は、エンジン機と言えばほとんど必ず「Uコン」と、決まっていた。
「Uコン」って何なのか、って言うと、つまり
U字型のハンドルに上下二本のワイヤーで飛行機に繋ぎ
「ハンマー投げ」よろしく自分のまわりをグルグル廻すのである。
持っている手首を上下するとフラップが動き、飛行機が上下するのだ。
上手な人は宙返りもすると言う。
けたたましく甲高いエンジン音を振りまきながら
エンジン機は千夏君の廻りを
グルグルグルグルと何周も何周も廻るのであった。
僕は、驚きと羨望と憧れと嫉妬心が入りまじった感動で
ほとんど泣きそうになりながら、だまってながめていた。
燃料が切れて、プルッ、、プルッ、、とプロペラが止まってきた。
千夏君が、U字型のハンドルを器用に操ると、
小さなエンジン機は、美しい曲線を描きながら、
まるで、大型旅客機が羽田空港の滑走路に着陸するように、
中学校の赤土の校庭に、スーーーッと着陸したのであった。
僕は、のどがカラカラになりながらも、思った。
黙っていては、かっこ悪い、
なんか、気のきいた事を言わなきゃ、、、
僕は、
「すんげースピードだな。どんくらいの速さだ？」と言ってみた。
千夏君は、少し驚いて、
「エッ？。考えたことなかったなー。」と、ちょっと小首をかしげ、
「そんじゃ計算してみっか！」と、言うのだ。
千夏君が、「ええと、ワイヤーが 15m だから、直径が 30m 。そんで、、、」
なんて言い出したから、僕は、
「なんか、やっかいな事になったなあ。余計な事を言わなきゃよかったなあ」
と、思って少し後悔していた。
千夏君は
「30 かける 3.14 は、うーんと、、、。
ええい、面倒臭いから、3 でいいや、
さざんがきゅう、で、うん、円周は90ｍだ。」と、ひとりごとを言う。
僕は「あっ」と驚いた。
「3.14は、そうか、確かにほとんど 3 に近いよなあ、、、」
千夏君は、小石で地面に数字を書きながら、なおも計算している。
一時間は60分、一分は60秒だから一時間3600秒、、、
とかなんとか、独り言をいいながら、、、
「一周、5秒だったよね。だから、90 割る 5 で、秒速18m 。
それで、18 かける 3600 は 64800。一時間で 64800m って事は、、、
わかったぞ！！ 時速 約60km/hだな。
おーー、けっこう速いじゃん。」
と、ひとりで悦に入っている。
僕は、なんだかわけもわからず、ただただ感動していた。
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円周率その２、
僕達、小数大好き
円周率は、3.1415926535、、、って永久に続く、いわゆる無理数です。
と、言われても、我々日本人は「あ、そうですか」くらいで
別に違和感は感じないよね。
日本人は小数で考える。
(もちろん中国人もでしょうね。むこうの方が先輩かな？)
日本人は昔から、何割何分何厘何毛、、、って小数が好きですな。
無理数より、むしろ変な分数を言われた方が、かえって気持ち悪いよね。
ワレワレ、無限小数にも無理数にも、ぜんぜん違和感なし。
その点は、他のアジアの国でも大体は同じ事情らしい。
ところが、昔のヨーロッパ人は円周率が無理数だと知って、
非常に不愉快になったそうだ。
(今でも、相変わらず不愉快らしい、、、たぶん)
欧米人は割り切れない数を、分数で考えるほうが好きらしい。
そう言えばスパナの寸法なんか
「3/8インチ」みたいに変な分数で表されている。
分数が好きなんだね、彼らは。
そんなわけでヨーロッパでは「無理数か？有理数か？」
って事が、常に数学上の大問題だったんだそうです。
「無理数なんちゅう悪魔の数字は、なんとかして葬り去りたい」
とでも思ったんでしょうね？
「分数で表すことが出来ない数なんて、存在すること自体許せない」
ってか？(^o^)
、、、、、
無理数か有理数かって言うのは、純粋に数学的問題であって
無理数は実際の数字の計算には全く扱えないんですよね。
もし無理数混じりの式をコンピューターに計算させたとすれば
世界が終わるまで、って言うのはおおげさだけど
少なくともコンピューターが壊れるまでは、延々と計算し続けてしまう、、、。
実用的には
何かの計算をする時には、必ずどこかで四捨五入しているわけであります。
だから無理数なんて実用上は無意味なのね。(^^;)
無理数でも有理数でも、どっちでも良いのです。
どっちみち四捨五入した時には自動的に有理数になっちゃうんだから、
って、、、あ、俺、やっぱり日本人だ！！
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円周率その３、
分数と、無理数パイが結びつくなんて、、、
なんと、驚いた事に、単なる自然数の逆数の累乗を足すと、
円周率パイが出てくる式があるそうです。
これです。
円とは、円もゆかりもない(シャレです(^^;))分数を足して行くと、パイが出る。
うぇーっ、なんてキモチワルイんでしょう。
こればっかりは、、、日本人の私にも、耐えがたい。
これを発見したのは、かの有名なオイラー先生。
当時、いろんな無限数列の和を求めるのが
数学者の大事な仕事のひとつだった。
オイラー先生の先生、ベルヌーイによって、
左辺が「2」より小さい事は証明済みだったが、
その正確な値は誰にもわからなかったのである。
レオンハルトオイラー (1707 ～1783)
オイラー先生は1731年に、左辺が、約「1.6449340668482264364」
である事を確かめた。根性で20桁目まで計算したんだそうです。
20桁って言ったって「20項」じゃないですからね。念のため。
何百項も一生懸命計算したんでしょう、、、。
もちろん電卓なんか影も形も無い時代ですよ。
オイラーさんはドイツ人だから「そろばん」だって無いんですから、
紙と羽根ペンでシコシコと計算したんでしょうね、、、
紙も貴重な時代だから、黒板だったかも、、、
そして、ここが常人と、かけ離れている所なんだけど
「1.6449340668482264364」に「6」を 掛けて、ルートを取ると、
「3.141592653589793238」になると気が付いた ! !
計算してみたら「3.141592653589793238」になったそうです。
そんな事をわざわざ学術論文に書いたという事は、
史上最大の数学者のほまれ高いオイラー先生でも
この時はさすがに、ビックリしたんでしょうね。
「こ、こ、こ、これは、まさしく円周率そのものではないか ! ! ! 」
って、ね、、、(^o^)
「1.6449340668482264364」が 「六ぶんのパイ二乗」になるなんて
なんでそんな事、思いついたんでしょうね、、、。
それに、そもそも単なる分数のたしざんなのに、
どうしてどうしてそこに円周率が出てくるの？？？
、、、、、
オイラーさんは「1.6449340668482264364」が
「六ぶ んのパイ二乗」 なんだと気がついてからは、
それはもう、死にものぐるいで頑張って、
1735年、ついに上式を証明したんだそうです。
その証明をここに書くのは、とてもとても私の手には負えません。
というか、難しすぎて実は私にもよくワカラナイ、、、、のだ。 (^^;)
何故かサインコサインなんか出てきてチョーややこしい。
どーも、サッパリわからんので、すいません。
(興味のある方は、ゼータ関数、オイラー、円周率、等で検索してみて下さい。
う～ん、、、素人ながら考えるのは、サインコサインが出てくると言う事で、
そこらへんから、円と何かしら関連があるみたいな、、、感じ、、、？)
ま、ともかく、奇妙キテレツな事があるんですね～
数の世界には、、、。
オイラー先生の生涯の全論文！を公開しているサイトがあります。
http://www.eulerarchive.org/
The Euler Archive というサイトです。
ボランティアで公開してくれているらしい。偉いなあ。
英語と、ラテン語のホントの原論文の写真もある。
数学の先生は、是非一度ご覧下さい。スゴイよ！！
ちなみに、オイラー先生はこの論文では円周率に「p」をあてている。
後になって、オイラー先生は円周率を
としました。
そうです。円周率を
＊＊＊＊＊＊＊
円周率その4
円周率を計算する
オイラー先生が作った式で今度は逆に円周率を計算してみた。
エクセルで簡単に出来ます。
やり方は、自然数を1から順に並べ、二乗し(=A1*A1 等)、
逆数を取り(=1/B1 等)、足し算し(=SUM(C1:C10) 等)、
6倍し(=6*D10 等)、ルートを取る(=SQRT(E10) 等)、
そうすると出ましたね。
意外と近いぞ！！
10までで、3.04936
20までで、3.094669524
100までで、3.132076532
1000までで、3.14063805620599
ね。結構いい線いってるじゃん。(^o^)
単なる数字を計算するだけで、パイが出てくる。
ここんところが、なんとも不思議ですな。
エクセルだと、ま、このくらいが限界。
そこで、十進BASICという、 BASICの一種で計算してみた。
こいつは、このような数値計算には最強のソフトです。
それに、BASICだから、プログラムも簡単。
で、1000000000までやって、やっと3.1415926まで近づきましたね。
オイラー先生も、1000000000以上も足し算したのだろうかと言うと、
そうでもないらしい。
オイラー先生は、このような計算の近似値を 求める方法も考え出したんだそうです。
すごいね！ なんたって、史上最大の数学者だからね。
(史上最大は俺だぞ！と、「ガウス先生」からクレームが入るかも、、、(^o^))
これに近い方法で、本気で何億桁も計算しているプロの学者も居ます。
コンピュータの専門家です。高速なプログラムを作る研究なのでしょう。
日本では東大の金田康正氏が有名です。世界一になった事もある。
金田氏は、お遊び用として、
フリーの「スーパーパイ」と言うソフトを公開してます。
パソコン野郎達はこの「スーパーパイ」を使って、
自作のパソコンの性能を競い合っているらしい。
(パソコン野郎は金田先生に感謝しましょう！！)
私も入れてみました。あっけなく簡単に出来ます。
私のパソコンでは、
104万桁で1分04秒、
3355万桁で2時間2分27秒でした。
どうぞお試しあれ。
面白いよ！
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円周率その5
無理数ってばかげた数？
無理数は、英語で「比でない数」(irrational number イラショナルナンバー)の誤訳。
英語でratio(レショ、レシオ)は比。
クルマ好きにはギア比の事を「ギアレシオ」だって言うのは常識だよね。
んで、rational(ラショナル)は「比的な」っていう形容詞。
だから、rational number(ラショナルナンバー)は比 (つまり分数)で表せる数。
irrational number(イラショナルナンバー)は分数で表せない数字って言う意味。
ところが、英和辞典を引くとrationalには道義をわきまえた、、、とか
理知的な、合理的な、、、、って言うような意味があると書いてある。
最初に翻訳した方は(どなたか知りませんが)ここにハマリましたね。
rationalが合理的なのでrational numberを「有理数」、
irrational numberは非合理な数字で「無理数」って訳しちゃった。
嗚呼、歴史的誤訳。
ほんとうなら、
有理数は「分数的数」、無理数は「非分数的数」とでも訳すべきだった、、、。
、、、、、、、
しかし、しかし、しか～しながら、
その2で述べたように、西洋人は無理数を、ばかげた、愚かな、
ありえない、非道徳的な、気持ち悪い、悪魔の、、、
数字だって言うイメージを持っているのであるからして、
irrational numberを「無理数」(無理な数字、非合理的な数字、、、)
って訳したのは最高に名訳だって言う説もあったりして、、、
うーん、深いなあ、、、
＊＊＊＊＊＊＊
円周率その6
建部賢弘 (たけべ かたひろ) (1664-1739)
円周率について、あーだこーだと書といているうちに
成り行きで「円周率を計算した男」という本を買ってしまった。
例によって古本ですが、、、(^o^)
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4404026498/qid=1122242735/sr=1-1/ref=sr_1_10_1/249-5358933-1926747
関孝和の高弟、建部賢弘の伝記です。
数学の本か、と思いきや、和算家の話を色々集めた短編小説集でした。
とっても楽しく読める本です。(「読切時代小説」的な、、、)
江戸時代の数学者の多くは、財務、建設、国調関係の役人でした。
数学を、経理学、力学、測量学等に応用していたのでしょう。
建部賢弘先生も、財務官僚だった。又、測量分野でも著名です。
数学を使う仕事は、なんでもやったんですね。
退職してから一念発起、円周率に本気で取り組んだのだそうです。
建部先生は円周率を42桁まで計算した。
しかし、42桁がエライのでは、けっして、無い。
建部先生が偉大なのは、円周率を計算している課程で
円周率が、下図の無限数列の和で表されることを発見した事にある。
(そのプロセスは、非常にムズカシイので、詳しい説明は、どうぞ御容赦下さい)
つまり、オイラー先生とは、ちょうど逆に
円周率を計算しようとしている課程で、無限数列の和が出てきたのだ。
特注の四尺超大型そろばん、
畳二畳もある和算独特の（これまた 特注の）算盤(さんばん)、
そして大量の和紙と筆を用いて、昼夜あけず計算した。
まず、直径1の円に内接する正方形の周が、2ルート2、
次に、正8角形、正16角形、正32角形、正64角形、、、
そして正1024角形の周まで次々と計 算していった。
そうしているうちに、正n角形の周囲、正2n角形の周囲、、、、
と徐々に正しい円周率に近づいて行く 3.14159265、、、の数字が
ある「規則性」を持って出てくることを見いだしたのである。
一つ一つの数字の差(階差)を取り、さらに階差の隣どうしの比を取ると、
それが4の累乗に近づいて行く事に気づいたのです。
どうして、そんな事に気づいたのでしょうね。
賢弘先生本人は、
「愚直に一生懸命取り組む事が自分の取り柄だ」と、謙虚に述べているが、
オイラー先生が、6分のパイ二乗に気づいた事と同様、驚くべき事です。
天才的ヒラメキ、いや、これはもう「天の采配」としか思えない。
いやー、想像するだけでワクワクしますね。
賢弘先生は、円周率が、 なにかの数列と関係ある、と確信した。
そこで、次に非常に小さな弧と弦を考え、
弦の長さと、弦と弧の中心との距離(矢(し))の関係を調べていく事によって、
ついに、上式に到達したのだそうです。
これは世界的大発見だったのであります。
関孝和先生が提起した
「円周率を求める公式、円理(えんり)を、求めるべきである」と言う大問題、
これに対する解答を、ついに、ついに、発見したのです。
1722年、建部賢弘59歳の春のことでありました。
オイラーは、15年後にようやく、同じ式をベルヌーイ先生に報告しています。
でも、日本は鎖国中だったから、
建部先生とオイラー先生が、お互いを知る事は、全く、なかった。
残念～～～！
後日、この式を含む「綴術算経」 (てつじゅつさんけい)という立派な本が完成し、
将軍、徳川吉宗に献上されたのでした。
スバラシイ！
、、、
と、いうわけで、めでたし、めでたし。
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